Son yıllarda ülkemizde matematik yarışmalarının popülerleşmesinde öncü olan TÜBİTAK’ın 27.’si düzenlenen Ulusal Ortaokul Olimpiyatı 2. Aşama Sınavı 21 Aralık 2019 tarihinde düzenlendi. Mayıs’ta yapılan 1. Aşama Sınavı’nı geçen 50 kişinin çağrıldığı bu sınav 1. Aşama’nın aksine test değil klasiktir. 4 sorunun bulunduğu bu sınavda öğrencilere toplamda 4.5 saat süre verilmektedir. Süre çok gibi gözükse de soruların zorluğunun yanında az bile kalmaktadır. Bu sınav Analiz-Cebir, Geometri, Sonlu Matematik ve Sayılar Teorisi alanlarından birer soru içermektedir. Bu sınavda genel olarak sorular zorluklarına göre sıralanmaktadır. Bu seneki sınavda Sayılar Teorisi 1. soru, Analiz-Cebir 2. soru, Geometri 3. soru ve Sonlu Matematik ise 4. soru olarak sorulmuştur. Bu yazıda Geometri sorusunun 2 farklı çözümü yapılmıştır. Bu çözümlerden ilkinde, verilen üçgenin çevrel çemberinin BC kenarının orta noktası olduğu; ikincisinde ise lemma yardımıyla BC kenarının orta noktasının, verilen üçgenin çevrel çemberinin merkezi olduğu gösterilmiştir 

Geometri sorusu şu şekildedir: ABC üçgeninin iç teğet çemberinin BC,CA ve AB kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla D, E ve F olsun. A köşesine ait iç açıortayın DE ve DF’yi kestiği noktalar P ve Q olsun. DPQ üçgeninin çevrel çember merkezinin [BC]‘nin orta noktası olduğunu gösteriniz.

1. Çözüm ABC üçgeninin iç teğet merkezi O olsun. m(ABO)=m(OBC)=b,m(BAO)=m(OAC)=a ve m(ACB)=180-2a-2b olsun. Bu durumda m(AEP)=180-a-b yani m(APE)=m(DPQ)=b olur. m(OBC)=m(DPQ)=b olduğundan OPDB kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla m(ODB)=m(OPB)=90 olur. Bu durumda m(OBP)=m(ODP)=90-a-b olur. m(AFQ)=90+b olduğundan m(PQD)=90-a-b olur. m(ODP)=m(PQD) olduğundan OD doğrusu PQD üçgeninin çevrel çemberine teğettir ve m(ODC)=90 olduğundan PQD üçgeninin çevrel çemberinin merkezi [BC]‘nin üzerindedir. Bu merkez H olsun. BP∩AC={N}olsun. AP açıortay ve m(ABP)=90 olduğundan ∣BP∣=∣PN∣’dir. m(DHP)=m(BCN)=180-2a-2b olduğundan PH//AC’dir. Bu durumda ∣BH∣=∣HC∣ olur, bu da bizden istenen şeydir.

2. Çözüm LEMMA 1.0: ABC üçgeninin iç teğet çemberinin BC,CA ve AB kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla D,E ve F olsun. DF doğrusu, A açısının açıortayı ve AB kenarının orta tabanı noktadaştır. AC kenarının orta noktası N, BC kenarının orta noktası M olsun. Yani AP, FD ve MN doğruları Q noktasında kesişir. Şekildeki açıları yukarıdaki çözümdeki gibi yazarsak m(MDQ)=90-b ve m(ABC)=m(NMC)=m(DMQ)=2b olur. Bu durumda OQD üçgeni ikizkenar üçgen, ∣MD∣=∣MQ∣ olur. m(PMB)=180-2a-2b, m(PDM)=a+b olduğundan PMD üçgeni ikizkenar, ∣PM∣=∣DM∣ olur. Yani BC kenarının orta noktası DPQ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.